第十章二元一次方程组
*10.4三元一次方程组的解法
(*选讲内容)
1.通过提炼实际问题中的数量关系，结合二元一次方程组的概念，锻炼抽象能力，培养类比推理能力.
2.能解简单的三元一次方程组，通过探索三元一次方程组的解法,进一步感受“消元法”化繁为简的化归思想，培养举一反三的迁移意识.
重点:会解简单的三元一次方程组.
难点:根据方程组的特点，选择最合适的解法.
1、什么叫二元一次方程组?
有代入消元法和加减消元法.
2、解二元一次方程组的方法有哪些?
方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
已知小明、小天、小红三个同学年龄之和为26岁，小明年龄的2倍与小天的年龄之和比小红大18岁，小明比小红大1岁，求三个同学的年龄.
小明年龄的2倍加上小天的年龄比小红大18岁.
三个人年龄之和为26岁.
小明比小红大1岁.
求三个人的年龄？
小明、小天、小红
问题1：题中有未知量？你能找出哪些等量关系？
未知量：
小明的年龄
小天的年龄
小红的年龄
每一个未知量都用一个字母表示
x岁
y岁
z岁
三个未知数(元)
等量关系：
(1)小明的年龄+小天的年龄+小红的年龄=26
(2)小明的年龄=小红的年龄+1
(3)2×小明的年龄+小天的年龄=小红的年龄+18
用方程表示等量关系.
想一想：观察列出的三个方程，你有什么发现？
二元一次方程
含两个未知数
未知数的次数都是1
含三个未知数
未知数的次数都是1
三元一次方程
问题2：你能类比二元一次方程(组)给上面的方程(组)取名字吗?
因三个同学的年龄必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
追问：你能根据二元一次方程组的解说出什么是三元一次方程组的解吗?
三元一次方程组中各个方程的公共解叫作这个三元一次方程组的解.
1.下列方程组中不是三元一次方程组的是()
练一练
解三元一次方程组
问题1：你能把上面的方程组化成只含有两个未知数的方程组吗?
可以参考解二元一次方程组的方法，利用代入消元或加减消元消去一个未知数.
例1解方程组
问题2：如何求方程组中第三个未知数的值?
消元成二元一次方程组后，解二元一次方程组，再把得到的解代入原方程组中求第三个未知数.
解：把②代人①，得z+1+y+z=26④.
把②代人③，得2(z+1)+y=z+18⑤.
将y=7，z=9代入①中，得x=10.
因此原方程组解为
问题3：类比二元一次方程组的解法总结解三元一次方程组的方法.
解三元一次方程组的一般步骤：
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
例2在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；
当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值.
分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.
解：根据题意，列得三元一次方程组
解得
因此a，b，c的值分别为3，-2，-5.
典例精析
例3若|a-b-1|+(b-2a+c)2+|2c-b|=0，求a，b，c的值.
解：因为三个非负式的和等于0，所以每个非负式的值均为0.
可得方程组
解得
典例精析
例4幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A，B，C三种食物，下表给出的是每份(50g)食物A，B，C分别所含的铁、钙和维生素的量(单位):
食物
维生素
20
10
10
10
15
典例精析
解：设食谱中包含A，B，C三种食物各x，y，z份，由题意
5x+5y+10z=35，
解得
20x+10y+10z=70，
5x+15y+5z=35，
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
解法
三元一次方程组
概念
含有___个未知数
每个方程中含未知数的项的次数
都是1
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程组
消元
消元
且含有未知数的式子都是整式
一共含有____个方程
①④
x＝3
x－4y＝－5
3.若a，b，c为三角形的三边长，此三角形周长为18，且a＋b＝2c，b＝2a，则a＝，b＝，c＝.
4.解方程组：
5.一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三位数.数字为z.
把①代入③得y＝7，把y＝7代入①得x＋z＝7④，
代入②得7z＝x＋9⑤，④＋⑤得z＝2，∴x＝5.
∴这个三位数为2×100＋7×10＋5＝275.
解：设这个三位数个位上的数字为x，
十位上的数字为y，百位上的数字为z.
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