在数学史上，有这么一个概念，难倒了一群数学家，甚至引发了第二次数学危机，这个概念就是无穷。面对这个概念，无数数学家前仆后继，虽说用极限的方法定义了无穷小量，完善了微积分理论，看似解决了第二次数学危机，可依旧没有找到一个可以描述“无穷”的工具，直到德国数学家格奥尔格·康托尔的出现

面对“无穷”这个概念，他决定创造一个工具去分析，这个工具就是集合，他对集合的定义是这样的：把若干确定的、有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，这个整体称为集合，其中各事物称为该集合的元素。他不断地完善集合论，最终使得集合论成为了现代数学的基础。

对集合有了初步的认识后，我们来看接下来的三个要点：集合的概念与分类、集合的表示方法和‬子集与真子集。

知识点一、集合及其表示方法

1.集合：把一些确定的对象的全体叫做集合（简称为集）．集合通常用大写字母 A、B、C来表示．

2.元素：集合中所含的各个对象叫做该集合的元素．元素通常用小写字母a、b、c来表示．

3.元素与集合的关系

属于：如果 a是集合A的元素，就说 a属于A，记作a ∈A，

不属于：如果 a不是集合A的元素，就说 a不属于A，记作a ∉A．

4.集合的特性：

（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可．

（2）互异性：集合中的元素没有重复．

（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序．

5.集合的相等：如果组成两个集合A与B的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B．

6.集合的分类：

（1）有限集：含有有限个元素的集合．

（2）无限集：含有无限个元素的集合．

7.空集：我们引入空集，规定其不含任何元素，记作 ∅．

注意：｛0 ｝和 ∅是不同的． ｛0｝是含有一个元素0的集合， ∅是不含任何元素的集合．

8.常用数集及记法：

（1）自然数集：全体非负整数的集合，记作N.

（2）整数集：全体整数的集合，记作Z.

（3）有理数集：全体有理数的集合，记作Q.

（4）实数集：全体实数的集合，记作R．

9.集合的表示方法：

（1）列举法：把集合中的元素不重复地一一列举出来，并写在一对大括号内．

能用列举法表示的集合一般是有限集．对于一些有规律的无限集，在不会引起歧义的前提下，也可用列举法表示，例如全体正偶数组成的集合可以表示为｛2，4，6，8，2n… ｝

（2）描述法：在一对大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中元素所具有的特征，即 A=｛x｜x满足性质p｝．

有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法．

10.区间：

数学中常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引进区间的概念．

来看典型例题：

知识点二、集合之间的关系

1.子集

2.真子集

注意‼️

（1）空集是任何集合的子集；

（2）空集是任何非空集合的真子集；

（3）任何一个集合是它本身的子集．

3.对于集合的包涵关系，有如下结论：

4.子集的个数

含 个元素的集合的所有子集的个数是2^n，所有真子集的个数是 2^n-1，非空真子集数为2^n-2 ．

5.易混符号

6.文氏图

来看典型例题

以上请我集合的基本概念和集合之间的关系。其实对于集合，我们并不陌生。小学学习的加法就用到了并集的思想。对于减法，我们可以这样想：从一个整体中，去掉一部分，求剩下了多少。我们用减法计算，那个整体就可以看作全集，去掉的部分就可以看作这个全集的一个子集，剩下的部分就可以看作这个子集在该集合中的补集，所以减法其实用到了补集的思想。

我们还学过分类，这也是集合的思想。我们求几个数的公倍数和公因数，实质上就相当于集合交集的运算。初中的时候我们学习了有理数、实数等概念，只要引入数集的概念，就可以出现有理数集、实数集等等。我们求一个不等式或不等式组的解集，这个解集也用到了集合的知识。

回到平面几何，我们就会发现，完全可以用集合来定义其中的一些概念，比如到线段两端点距离相等的点的集合就是线段的垂直平分线，平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆等等。

当然，康托尔的集合论也并非完美无缺，在康托尔去世之后，人们对于集合论的研究并未停止，现在，集合作为数学的一个基本分支，其基本概念已经渗透到数学的所有领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，它的创始人康托尔也因此被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一。

再之后，在众多质疑康托尔提出的集合论的数学家中，有一位叫罗素的数学家，他提出了一个直接引发第三次数学危机的问题，感兴趣的同学们可以继续探讨。