当x=1时，f(x)不存在，因为在x=1处出现了“角”，如图所示：

2、分段函数的建立及应用

通常建立分段函数利用的是实际问题中的特点，将一个函数在不同的区间上用不同的表达式来进行定义。在应用中，我们需要先确定分段函数的定义、求出每个区间上的表达式，然后将不同的表达式拼接成为一个完整的分段函数。例如，汽车租赁公司采用“日租制”和“公里计价”两种计费方法，每辆车每天租金为100元，每辆车每行驶一公里要加收2元，用分段函数的方法计算小王租车一天行驶n公里的费用：

解：设小王租车费用为f(n)，则有：

当n≤0时，f(n)=0

当0＜n≤1时，f(n)=100元

当n＞1时，f(n)＝100+2(n-1)元

则小王租车一天行驶n公里需要的费用为f(n)，可得分段函数为：

f(n)=

$begin{cases}

0, &n≤0

100, &0＜n≤1

100+2(n-1), &n＞1

end{cases}$

3、分段函数的极值及最优解

分段函数的最值及最优解通常要根据函数的图像来进行判断。对于单峰分段函数，它的最大值和最小值通常出现在“角点”处；对于双峰及多峰分段函数，则需要通过化简或细致的分析来判断最大值和最小值的位置。

例如，对于分段函数f(x)=

$begin{cases}

-x^2+4x+1, &x≤2

-2x+9, &x＞2

end{cases}$

求f(x)的最大值及取到最大值的x。

解：首先，我们需要算出分段函数在转折点x=2处的函数值，即f(2)=5，因此函数由下降转为上升，只有一个极小值点。

然后，我们可以分别计算区间和

2，+∞)上的最大值。

当x∈时，f(x)=-x^2+4x+1，可得f'(x)=-2x+4=0，此时x=2，所以f(2)=5是区间上的最大值。

当x＞2时，f(x)=-2x+9，显然f(∞)=+∞，所以最大值为f(∞)。

综上，分段函数f(x)的最大值为f(∞)，取到最大值的x应为x＞2。

4、分段函数的实际应用

分段函数在实际生活中应用广泛，如在经济学中，成本、利润、收益等都可以用分段函数来描述；在物理学中，功率、速度、加速度等也常涉及分段函数的应用；在生物学中，生长速度、繁殖率等也需要用到分段函数的概念。

例如，在医学中，男性青少年的体重与身高之间的关系可以用分段函数来表达。设男性青少年的身高为x，体重为y，小于16岁的男性青少年可用以下公式描述：

y=

$begin{cases}

2.131x+7.562, &1.3＜x≤1.5

3.126x+0.699, &1.5＜x≤1.7

4.901x-6.753, &1.7＜x≤1.87

3.61x-6.358, &1.87＜x≤2.0

2.332x-4.081, &2.0＜x≤2.13

1.385x-0.782, &2.13＜x≤2.26