最大公因数和最小公倍数是数学里面一个基础但运用十分广泛的知识点，也是在历年的教师招聘考试中常常会涉及到的考点。接下来的内容，我会从不同的角度来帮助大家梳理并且攻克这个考点⇂

1. 是什么

简单来说，几个数公有的因数中最大的那个，叫做最大公因数。

常考点：

①两数中一个数是另一个数的因数，那么较小的数就是它们的最大公因数.

②互质的两个数的最大公因数是1.

例：如果a、b都是自然数，并且a÷b=6,那么数a和数b的最大公因数是（    ）.

A. 6        B.b        C. a        D.ab

【华公解析】B；根据等式a÷b=6可知，b是a的因数，因此a和b的最大公因数就是b

几个数公有的倍数中最小的那个，叫做最小公倍数。

常考点：

①两个数中一个数是另一个数的倍数，那么较大的数就是它们的最小公倍数.

②互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积.

例：非零自然数a、b、c，其中a能整除b，a能被c整除，则a、b、c的最小公倍数是（    ）。

A.a          B.b          C.c          D.ab

【华公解析】B；a能整除b说明b是a的倍数，a能被c整除说明a是c的倍数，则其中较大的数是b，说明a、b、c的最小公倍数是b。

2. 怎么求

通常求几个数的最大公因数和最小公倍数会用到以下两种方法：

①分解质因数法

先分解质因数，观察几个数的公有质因数和独有质因数.

最大公因数 = 公有质因数的乘积

最小公倍数 = 公有质因数的乘积 × 独有质因数的乘积

②短除法

几个数同时一直除以它们的公因数，直到商互质为止.

最大公因数 = 除数的乘积

最小公倍数 = 除数的乘积 × 商的乘积

3. 用在哪

最大公约数和最小公倍数除了用在以上这些基本概念相关的基础题型之外，还在奥数的多种题型里面也常常会涉及到。直接来看看下面这些例题：

① 环形跑道问题

例：甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过（    ）分钟才能在A点相遇。

A.10分钟       B.12分钟

C.13分钟       D.40分钟

【华公解析】D；由题意知，甲跑一圈需要5分钟，乙跑一圈需要8分钟，两人同时在起跑点A点相遇，则两人在同样时间内都刚好跑了整数圈，则取5和8的最小公倍数40，恰好40分钟甲跑了8圈回到A点，乙跑了5圈回到A点，两人相遇。

② 植树问题

例1：有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成长度相等的小段，每根不准有剩余，一共可以截成（    ）段。

A.4        B.5

C.6        D.8

【华公解析】B；根据题意，可计算出18与12的最大公约数是6，即是每根小段的最长，然后再用18除以最大公约数加上12除以最大公约数的商，即一共截成的段数=18÷6+12÷6=5（段）。

例2：六一节前夕，同学们布置校园，在学校大路的一边插彩旗．开始时，每隔3米插一面．当插到第10面时，发现彩旗不够，于是重插，改为每4米插一面．重插时，不需要移动位置的彩旗，除第一面外，还有（    ）面。

A.第二和第六    B.第三和第七

C.第四和第八    D.第五和第九

【华公解析】D；取3和4的最小公倍数，则每12米的位置的小旗不需要重插，第一个12米里面一共有4个3米的间隔，而插小旗可以看成两端种树，那么棵数=间隔数+1=4+1=5，则第5面彩旗不用移动，以此类推，下一个是第九面。

③ 周期问题

例1：三位采购员定期去某市场采购，小王每隔9天去一次，大刘每隔6天去一次，老杨每隔7天去一次，三人星期二第一次在这里，下次相会将在（    ）。

A.星期一       B.星期五

C.星期二       D.星期四

【华公解析】C；此题乍看上去是求9、6、7的最小公倍数的问题，但这里有一个关键词，即“每隔”，“每隔9天”也即“每10天”，所以此题实际上是求10、7、8的最小公倍数.10、7、8的最小公倍数是2×5×7×4=280.280÷7=40，所以下次相遇肯定还是星期二。

例2：小明和小刚同时开始做作业，小明做8分钟休息2分钟，小刚做12分钟休息2分钟，问两人若要同时休息至少要隔（    ）分钟。

A.70       B.66

C.68       D.72

【华公解析】C；小明做8分钟休息2分钟，即10分钟一个循环周期，小刚做12分钟休息2分钟，即14分钟一个循环周期，10和14的最小公倍数是70，即两人同时休息后至少经过了70分钟，再减去2分钟的休息时间才是开始休息的时间，即两人若要同时休息至少要隔68分钟。

④ 同余问题

此类问题可利用公式：

余数相同时，总数（被除数）= 除数的最小公倍数＋余数（“余数”为负数时也能用该公式）

例1：一筐桔子6个人平均分余1个，7个人平均分也余1个，这筐桔子至少有（　　）个。

A.13      B.21      C.8      D.43

【华公解析】D；余数都为1，取6和7的最小公倍数加1，则至少43个。

例2：水果店有48个橘子、72个苹果、60个梨子，用这些水果最多能装（    ）份同样的水果篮。

A.6       B.12        C.10        D.9

【华公解析】B；由题意，取72、48、60的最大公因数是2×2×3＝12，所以可以分成12份水果篮，其中每份果篮，橘子：48÷12＝4（个），苹果：72÷12＝6（个），梨：60÷12＝5（个）。

例3：一个正整数除以5余3，除以7余5，除以9余7，则这个正整数最小是（    ）。

A.297      B.301      C.322      D.313

【华公解析】D；除以5余3，除以7余5，除以9余7可看作除以5余-2，除以7余-2，除以9余-2，余数相同，直接套用公式则这个正整数可表示为5×7×9n-2=315n-2(n≥1且为整数)，那么这个正整数最小为313。

例4：一个数去除69、90、125，所得的余数都相同，这个数最大是（    ）。A.6       B.7       C.8        D.9

【华公解析】B；余数都相同，则69和90之间相差21,90和125之间相差35，则这个数一定能同时整除21和35，根据题意，取21和35的最大公约数既是这个数，为7。

⑤ 切割图形

例：把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成（    ）块。

A.3       B. 4       C. 5       D.6

【华公解析】D；要刚好裁成面积相等且没有剩余，则正方形的边长要刚好同时整除长方形铁板的长和宽，又要使正方形最大，则取长120厘米和宽80厘米的最大公约数40厘米为正方形边长，可以裁成的块数=(120÷40)×(80÷40)=6（块）。

学习了以上这些最大公约数和最小公倍数相关的题型，相信备考的同学们对这个知识点已经有了一个初步的认识。那么接下来就通过多多做练习来巩固这些知识点，在考试时候遇到这类题目都能轻松拿下！