本文是马同学推出的免费课《高等数学预备课》的内容，文中的习题答案、动图等，请访问微信公众号：马同学图解数学或直接访问：查阅。

就像数有了加减乘除才能解决更多的问题，集合也需要类似的基本运算来提升处理问题的能力，本课就来介绍相关的内容。

1 全集

1.1 全集

进行科学研究总需要划定适用范围，比如牛顿的经典力学的适用范围是低速运动，而爱因斯坦的相对论可以适用在高速的情况：

集合中有一个概念就是用来划定范围的：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那就称这个集合为全集（），通常记作

。—-《高中数学人教版》

在同一个全集中的子集，或者说在同一个范围内的集合，才有进行相互比较（指子集，真子集）、基本运算等的必要。比如代表某校学生的集合

，和代表所有茶叶品种的集合

，两者几乎不会相提并论，更没有进行比较、运算的并要。

所以后面的讨论都会在某个全集内进行。

1.2 全集的 Venn 图

比如某全集：

在全集内有两个子集：

作这三者的 Venn 图时，常用一个方框来表示全集

，两个子集会分别画在方框内：

2 交运算

集合的基本运算总共有 4 种，分别是交、并、差、补。下面逐一进行讲解。

让我们开始第一个运算的讲解。对于集合A、B，交运算（）被定义为：

用 Venn 图可以表示如下，其中阴影为运算的结果：

反复运用上述定义，可以将交运算推广到有限个甚至无限个集合中去（其中

符号代表正无穷）：

3 并运算

对于集合A、B，并运算（Union）被定义为：

用 Venn 图可以表示如下，其中阴影为运算的结果：

反复运用上述定义，可以将并运算推广到有限个甚至无限个集合中去（其中

符号代表正无穷）：

4 差运算

对于集合A、B，差运算（ ）被定义为：

用 Venn 图可以表示如下，其中阴影为运算的结果：

5 补运算

5.1 补运算

假如有全集

以及其子集

，满足：

则称

的补（），记作：

本课程中更多用

来表示补集，而在《高中数学人教版》中用的是

，拉长的 C 以及 U 表示这是在全集

上的补集。

用 Venn 图可以表示如下，其中阴影为运算的结果：

5.2 互补

上面描述的补，反过来也是成立的：

所以

也可以称为互补。

6 基本运算的性质

数的基本运算“乘加减”有自己的性质，集合的基本运算“交并差”也一样，并且两者的性质还差不多，下面来看看。

6.1 类比

首先，让我们将“交并差”与“乘加减”进行类比：

其实很多书籍也会把“交并差”写作“乘加减”的形式，本课程也会在不误解的情况下，交叉使用这两种符号

6.2 基本运算的性质

按照上面这样类比的话，你会发现两种基本运算的性质差不多：

上表中用“乘加减”表示的性质既对数成立，也对集合成立。只有最后一条性质是集合独有的，所以单独用集合的运算符号来表示。

7 德摩根定律

7.1 德摩根定律

集合运算中有个德摩根定律（De 's laws）需要介绍下，即：

下面来证明

，假设：

可知，对于任意

有：

同理，对于任意

有：

结合（1）（2）可得：

同理可证。

德摩根定律用生活中的例子也很好理解，假设

代表“去跑步”，

代表“去跳远”，

表示“去跑步或跳远”，所以有：

表示“既跑步又跳远”，所以有：

7.2 Venn 图

也可以通过 Venn 图来理解德摩根定律，首先是第一个公式

然后是第二个公式

7.3 记忆方法

理解归理解，德摩根定律看上去还是有点复杂，可以通过下面方法来记忆，就是头顶上的帽子断开时，中间的符号要翻转：

德摩根定律拓展到多个事件上也是成立的，记忆方法也是一样的：

8 互动操作

下面是一个互动操作，可以通过点击单选按钮来看到不同的 Venn 图，这样或许可以帮助同学们加深对集合各种运算的理解：

9 py：集合的基本运算

通过 numpy 也可以完成集合的基本运算：

import numpy as np  # 引入 numpy 库
# 用列举法创建两个集合
U = np.array([1,2,3,4,5,6]) # 全集
A = np.array([1,2,3,5])
B = np.array([1,2,3,4]) 
# 打印结果
print('U = {}, A = {}, B = {}'.format(U, A, B))
print('A n B = {}'.format(np.intersect1d(A,B))) # 交
print('A u B = {}'.format(np.union1d(A,B)))		# 并
print('CuA = {}'.format(np.setdiff1d(U,A)))		# 补
print('A-B = {}'.format(np.setdiff1d(A,B)))		# 差

运行结果

U = [1 2 3 4 5 6], A = [1 2 3 5], B = [1 2 3 4]
A n B = [1 2 3]
A u B = [1 2 3 4 5]
CuA = [4 6]
A-B = [5]

至于集合基本运算的性质和德摩根定律，同学们可以尝试去实现下。

10 小结

这节课我们介绍了集合的基本运算：

集合基本运算

以及基本运行的性质和德摩根定律：