同学们，上课。

老师好

同学们好，请坐，你们的声音真好听。

看，今天小天老师给大家带来一个新朋友，认识它吗？

钉子板

那我先来介绍一下这个好朋友，钉子板中两钉之间的距离是1分米，那么每格的面积就是？

1平方分米

那我们来仔细看（框长方形4×2）

你知道这个长方形的面积吗？

8平方分米

你是怎么得到的呢？

长乘宽……

这位同学是用公式进行计算，还有其他方法吗？

数格子，有8个格子，就是8个1平方分米，8平方分米

对滴，面积的本质，就是度量这个平面图形里，包含了多少个面积单位。

现在难度升级（围平行四边形），这个图形的面积你能算出来吗？

4×3=12平方分米

这是一个什么形状？

平行四边形

谁还记得上节课是怎么推导平行四边形的面积公式呢？

沿着高剪开……

对吗？

对，谁有补充？

平行四边形的底，就是长方形的长，平行四边形的高，就是长方形的宽。

那我们推导出来的平行四边形的面积公式是？

平行四边形的面积=底×高（板贴）

猜一猜，今天我们学的是什么知识？

三角形的面积（板书）

那我们回到钉子板，看这是一个什么三角形？（框：一乘一的等腰直角三角形）

等腰直角三角形

它的面积是多少呢？

0.5平方分米

你是怎么知道的？

它是一格的一半，……

也是1平方分米的一半，就是0.5平方分米

现在老师把它底拉长，高也拉高，现在呢？

2平方分米

你怎么想的？

先是底乘高，再除以2……

是哪个正方形？你来上台围一下（学生框正方形）

然后你是先算出？

我先算出正方形的面积，再除以2，就是三角形的面积。

正方形的面积是？

边长乘边长

那刚才同学说的，底乘高，底就是正方形的？

边长，

高呢？

也是正方形的边长

边长×边长就是正方形的面积，再除以2，就是三角形的面积。

同学们看，除了这个正方形，我们还变出来一个什么图形？

三角形

是不是右上角这个三角形？

这个三角形和我们原来的三角形有什么关系呢？

一样

数学语言上，我们称为完全一样。

好，下面小天老师还想把这个三角形，（框三角形）变一变，看，它的底在变？

它的面积呢？

变大

再拉长

变大

再拉长

变大

谁来猜一猜，三角形的面积和什么有关系？

底……

在观察底变长的过程中，高呢？

高没有变

那也就是说，当高不变的情况下，底越长，三角形的面积，越大~

（变三角形高）

现在把它拉高，面积呢？

变大

再拉高

变大

再拉高

变大

所以，三角形的面积，我们猜测，和三角形的？

底，和高有关系。

那到底有什么关系，就是这节课研究的关键问题。

（去掉小三角形）

那这个大直角三角形，面积是多少呢？

12平方分米。

你是怎么想的

可以把那个缺的三角形，给它补上去，

把这个三角形给它填到上面去，

等于你还是把它补成了一个长方形，用什么样的三角形拼呢？

完全一样

那小天老师这，有一个三角形，他们俩一样大吗？

一样

我们来验证一下

看，（大三角板放在了钉子板上）这两个三角形完全重合，（板书：完全一样）

两个完全一样的三角形，通过旋转，平移，得到了一个什么图形呢？

长方形（板书：旋转、平移）

那小天老师继续来变（很慢，变上面顶点）

咦（安静）

说明有难度了

再变（顶点）

【设计意图】

（1）发展空间观念，落实“数学眼光”的素养导向

新课标强调空间观念是对图形形状、大小、位置关系的直观认识。钉子板通过直观的钉点和围线，能让学生清晰感知三角形的底、高与形状变化的关系。例如，在钉子板上围出不同大小、不同类型的三角形（直角、锐角、钝角），学生可直观观察到“高不变，底变化时面积的变化规律”“等底等高三角形面积相等”等本质特征，从而从直观操作逐步建立对三角形面积的空间认知。

（2）渗透转化思想，培养“数学思维”的推理意识

新课标要求在图形面积推导中体会“转化”的数学思想。借助钉子板，学生可以将三角形与已学的平行四边形、长方形建立联系：用两个完全相同的三角形在钉子板上拼出正方形、长方形、平行四边形，直观发现“两个完全一样的三角形，拼组成学过的平行四边形，三角形面积是组成的平行四边形面积的一半”。这一过程让学生经历“三角形→平行四边形→长方形”的转化推理，契合新课标中“通过观察、操作、推理等活动，感悟图形的本质特征”的要求。

（3）强化量感与度量意识，夯实“图形测量”的知识基础

新课标对“量感”的要求是对度量单位及大小关系的直观感知。钉子板的钉距可作为统一的长度单位（如1分米），围出的三角形面积可通过“数方格（钉点围成的单位面积）”或“转化后计算”两种方式验证，帮助学生理解“面积是包含多少个面积单位”的本质，从而在操作中建立“底×高÷2”公式与度量本质的联系。

刚才我们发现直角三角形可以转化成，我们之前学过的长方形，进而计算出面积，那锐角三角形呢？钝角三角形呢？能不能也转化成，我们学过的平面图形，然后求出面积呢？

接下来我们来动手操作验证一下，我们的猜想，是否正确

接下来，请看小组活动规则。（教师读规则）

谁能用自己的语言来描述一下第一条活动规则呢？

明晰规则之后，请开始动手操作吧！

……

好了，时间到

小天老师，邀请同学上台分享一下自己的数据和想法。

一号三角形，与几号三角形拼成什么已知图形呢？

谁来拼组、分享一下呢？

……

这个同学把1号和4号，拼成了一个？

平行四边形。

那拼成的平行四边形的底是？高是？面积？

每个三角形的底？高？面积？

二号……

三号……

观察拼成的平行四边形与三角形，你有什么发现？

平行四边形的底和三角形的一样，平行四边形的高和三角形的高一样，平行四边形的面积是三角形的两倍

底乘高算出的是平行四边形的面积，也就是两个完全一样的三角形的面积，所以，用底乘高除以二

那我们回顾一下，整个的探究过程，从开始的钉子板，研究一些特殊的三角形，受到钉子板的启发，我们分别研究了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，我们发现，两个完全一样的三角形，拼组成我们学过的平行四边形，这个过程太棒了，它是把我们未知的（三角形的面积）问题，转化成了已经学过的（平行四边形）问题，（板贴，三角形的面积，写转化）

平行四边形的面积等于？

底乘高

然后我们再观察，黑板上的数据，和拼组出来的图形

结合起来发现，平行四边形的底就是？

原来的三角形的底（板书：底）

平行四边形的高？

就是原来三角形的高（板书：高）

那我用三角形的底乘高，算出来的是？

平行四边形的面积

也就是？

两个三角形的面积

所以，要除以2

我们来齐读一下三角形的面积公式：

生读

如果三角形的底，用字母a来表示，高用字母h表示，s表示面积，那三角形面积公式用字母表示为：s=ah÷2

那三角形面积推导，必须用到两个三角形吗？一个三角形可以吗？

可以（谁来分享下）

你和古代的数学家一样智慧

我们古代著名的数学家，刘徽，早在两千年前，就已经用一个三角形，推导出了，三角形的面积公式，我们通过一个视频来了解一下吧！

……

课下，同学们可以自己动手尝试一下，也许会有新的发现！

【设计意图】

（1）发展推理意识，落实“数学思维”的素养导向

新课标强调推理意识是“对事物或现象进行归纳、类比、演绎等思维活动”。学生用两个完全一样的三角形拼平行四边形时，需观察、比较三角形与拼出的平行四边形的底、高、面积关系，进而归纳出“三角形面积 = 底×高÷2”。这一过程是从“特殊操作”到“一般结论”的合情推理，契合新课标“通过观察、实验、猜想、验证等活动，发展推理能力”的要求。

（2）渗透转化思想，培养“图形与几何”的核心素养

新课标在“图形的测量”领域明确提出要“体会转化的数学思想”。将三角形面积问题转化为已学的平行四边形面积问题，是“未知转化为已知”的典型体现。学生通过拼组操作，直观感知三角形与平行四边形的内在联系，理解“三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半”，从而在转化中构建图形面积的知识体系，落实新课标“感悟图形的本质特征和相互关系”的要求。

（3）强化探究式学习，践行“做中学”的教学理念

新课标倡导“学生主动参与、动手实践、自主探究”的学习方式。让学生用三角形拼组成已学过的图形，给予了学生充分的操作、探究空间：学生可自主选择不同类型的三角形（直角、锐角、钝角）进行拼组，在尝试、调整中发现规律。这一过程体现了新课标“让学生经历知识的形成与应用过程，积累数学活动经验”的理念，帮助学生从“被动接受”转向“主动建构”。

（4）发展空间观念，深化对“度量本质”的理解

新课标对空间观念的要求是“对图形的形状、大小、位置关系的直观认识”。通过拼组操作，学生能直观观察到三角形的底、高与平行四边形的底、高的对应关系，进而理解“面积度量是对包含多少个面积单位的量化”。这种直观操作与抽象公式的联结，助力学生建立“形”与“数”的联系，落实新课标“初步形成量感和空间观念”的目标。

刚才我们探究了三角形面积公式的推导过程，大家对“底乘高除以2”的核心逻辑已经有了清晰认知，那我们接下来把理论落到实处。

玩一个知识竞赛，现在分为左边，右边，两个阵营，进行PK，小天老师现在是大赛主持人，五二班，三角形面积公式推导竞赛，现在开始！（掌声）

第一轮为抢答题，请听游戏规则，当老师读完题目，说“开始抢答”，才可开始抢答（不用举手）！

第一题，经过动手操作，我们再次明确两个（）样的三角形，才能拼成已学过的图形？

完全一样

回答正确，积一分。

第二题，我们把两个完全一样的三角形，拼成了学过的什么图形？

平行四边形

长方形

咦，哪一个答案更标准呢？

平行四边形，因为长方形是特殊的平行四边形。

回答正确，积一分。

第三题，在拼组过程中，我们发现，拼成的平行四边形的底和三角形的底（）？

第四题，在拼组过程中，我们发现，拼成的平行四边形的高和三角形的高（）？

第五题，在拼组过程中，我们发现，拼成的平行四边形的面积是三角形的面积（）？

（课本90页，做一做第一题）

第六题，下图中平行四边形的面积是12 cm²，则涂色三角形的面积是（ ）。

为什么呢？

第二轮，速算题

红领巾的底是120 cm，高是 39.8 cm，它的面积是多少平方厘米？

请开始规范书写过程！

绝大多数学生，书写完毕，我找同学回答一下你写的过程。

最后一轮，附加题

等积变形（钉子板上）

最后，我们回到课前钉子板上的三角形，现在你会计算它的面积了吗？

会，……

（围第二个等底等高的三角形）那这个三角形呢？

……

这个三角形呢？

这三个三角形的面积都是12平方分米，为什么他们的面积一样？

因为他们的底和高都一样，列出来的算式是一样的

也就是说，三角形的面积，只和底和高，有关，和形状没有关系。

这样的三角形，你能上来围一个吗？

（学生上台展示）

你同意吗？

那如果小天老师这个钉子板无限大，你能框出来多少个？

无数个

正所谓，一生二，二生三，三生万物

【设计意图】

（1）激发学习兴趣，落实“乐学善学”的学习素养

新课标强调要“激发学生学习数学的兴趣，增强学习信心”。知识竞赛通过抢答题的紧张感、速算题的速度与激情、附加题的思维提升，将枯燥的知识复习转化为富有挑战性的活动，能有效调动学生的参与热情，让学生在“玩中学、赛中练”，契合新课标“注重学习情境的创设，提高学生学习的主动性”的要求。

（2）发展应用意识，提升“数学应用”的素养导向

新课标要求“综合运用数学知识和方法解决实际问题”。竞赛中的题目，设计为生活情境类（如“计算红领巾、零件的面积”），促使学生将三角形面积公式灵活应用于不同场景，在竞赛挑战中强化“数学知识服务于实际问题解决”的意识，落实新课标“增强应用意识，积累实践经验”的目标。

（3）强化知识巩固，促进“知识结构化”的认知发展

新课标倡导“形成结构化的知识体系”。通过抢答题、速算题、附加题的分层设计，可全面覆盖三角形面积的“概念、公式、推导、应用”等知识模块，帮助学生梳理知识间的逻辑联系，在竞赛互动中实现知识的深度巩固与结构化整合。

（4）培养合作与竞争意识，践行“综合素养”的发展要求

新课标关注“学生综合素养的发展，包括合作交流、竞争进取等品质”。知识竞赛中采用小组对抗赛形式，激发竞争意识，培养学生的团队协作能力让学生在多元互动中学会“在合作中成长，在竞争中提升”，契合新课标“注重学生综合素质培养，促进全面发展”的理念。

小天老师讲完这节课，对这句话有了新的理解，（视频动画，从三角形，组成五角星到五星红旗，到华夏大地）一就是三角形，二就是五角星，三就是五星红旗，而万物，就是这华夏大地所有的美好。

当我们用数学的眼光观察这个世界的时候，你会发现，万物皆有形，万物皆有星！在坐的每一位同学，都是未来一颗颗闪耀的明星！

我宣布，本次大赛圆满结束，把掌声送给优秀的自己。

【设计意图】

（1）落实立德树人，彰显数学课程的育人价值

新课标明确提出“数学课程要落实立德树人根本任务”。将三角形与五星红旗的五角星联系，既让学生体会三角形在国家象征中的意义，又厚植家国情怀，引导学生理解数学学习与民族文化、国家认同的联系，实现“知识传授”与“价值引领”的统一，契合新课标“发挥数学课程的育人功能”的要求。

（2）发展核心素养，助力“三会”目标达成

新课标要求培养学生“会用数学的眼光观察现实世界”。以“万物皆有形，万物皆有星”升华，引导学生从数学视角（三角形的形状、结构）观察生活中的万物（国旗、自然、社会中的图形），进而认识到自身是“未来闪耀的明星”，将数学学习与个人成长、社会价值建立联系，助力“用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达”的核心素养落地。

（3）激发学习内驱力，培养终身学习意识

新课标强调“激发学生学习数学的持久动力”。把学生比作“未来闪耀的明星”，从情感层面激发学习动机，让学生意识到数学不是孤立的公式，而是理解世界、成就自我的工具，从而在后续数学学习中保持热情，主动探究，契合新课标“培养学生学习数学的兴趣和自信心，形成终身学习意识”的目标。

（4）促进知识结构化，建立数学与人文的联系

新课标倡导“建立知识之间的关联，形成结构化的认知”。课堂最后结尾通过“一生二，二生三，三生万物”的哲学思想串联三角形与万物的关系，将数学知识与人文思想融合。

其实输赢并不重要，重要的是在这个过程中，你学到了什么，成长了多少！请同学们拿出学习单，对本节课的自己进行评价吧。

【设计意图】

（1）落实“教学评”一致性，助力核心素养评价落地

新课标强调“建立教学评一致性的育人机制”。通过自评、师评的方式，实现对学生课堂学习行为和素养发展的过程性评价，契合新课标“注重评价的整体性、综合性和发展性”的要求。

（2）促进问题解决能力，发展“数学思维”

新课标要求“培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力”。自评表引导学生关注自身在数学探究过程中的思维表现，推动学生在反思中提升问题解决能力和推理意识，契合新课标“通过数学活动发展学生思维能力”的要求。

课下请完成课后作业。

【设计意图】

（1）落实因材施教，满足“不同学生不同发展”的需求

新课标强调“面向全体学生，注重因材施教”。分层作业通过“基础作业、提升练习、拓展练习”的梯度设计，让不同学习水平的学生都能获得适配的挑战：基础作业巩固三角形面积公式的基本应用；提升练习强化综合解题能力；拓展练习则为学有余力的学生提供跨知识（梯形面积与三角形面积的关联）、跨情境（中华传统美德文化墙）的应用机会，契合新课标“使人人都能获得良好的数学教育，不同程度的孩子在数学上得到不同的发展”的要求。

（2）发展核心素养，助力“三会”目标的分层达成

基础作业：聚焦“会用数学的语言表达现实世界”，通过课本习题巩固三角形面积公式的规范应用，培养知识的精准表达能力。

提升练习：侧重“会用数学的思维思考现实世界”，通过综合性习题锻炼学生分析、解决较复杂三角形面积问题的逻辑思维。

拓展练习：融合“会用数学的眼光观察现实世界”，将三角形面积知识迁移到梯形面积计算（梯形可拆分为三角形与平行四边形），同时结合“中华传统美德”文化情境，让学生在跨学科、生活化的场景中运用数学知识，实现“数学应用”与“德育渗透”的结合，落实新课标“培养学生核心素养”的目标。