各位朋友们大家好！今天继续给大家分享的是二零二五年最新的刚刚考过的杭州市二模的考题。说到杭州市二模还有一段非常好的历史，在二零二三年的时候杭州市二模在四月份的模拟题压中了当年二零二三年新高考一去二的倒数第二题，次压轴题。

这个概率结合书列马尔克夫列，所以杭州市二模还是非常重要的，一定要好好的研究。今天老师给大家分享的是杭州市二模最难的一道填空题，填空题的压轴制作十四题，而且我讲这个方法堪称是最快的方法。

最快的方法来看下题，甲乙丙三人从两个不同的数，两个不同的数随便算一下，两个不同的数分别设为小a和小b。三个人甲乙丙从两个不同的数中随机抽取若干个，可以不选分别构成三个集合叫a、b、c。问的是a、b、c中元素的个数小m，元素的个数小m大一等一的概率。

显然此题考察了古典概型，如果从正面去考虑要分类讨论相当麻烦，今天我讲一个最快的方法，正难则反的思想，你看我是如何去转化的。

首先我这么做，先算一下如果假设这么去做，根据古典概型的计算公式应该先算一下总数是吧？总数怎么算？甲过来有可能不选，有可能选a，有可能选b，有可能选两个元素ab。甲乙丙三人从两个元素中两个数中可以不选，要么是一个元素都不选，这是零个元素，要么选一个a，一个元素，要么选一个b，一个元素，要么选出两个元素都有可能的。

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这样应该是几种情况？应该是四乘四乘四是四的立方，听懂了吗？本题的总数就是四的立方，也就是六十四，朋友们能听懂吗？但是我今天不这么讲，换一个方方式来的非常快。开始，朋友们，我换一种方式直接秒杀。

·首先把三个集合画出来，先画一个全集，全集不妨叫u，然后画出三个集合，这有一个a集合，还有一个b集合，还得画一个c集合。而且题目说了a、b、c元素的个数是大于等于一的，说明它是有a、b、c的。

·朋友们看一下哪一部分是a、b、c？显然换颜色，中间红颜色的是a、b、c，三个圈分别是集合a、集合b、集合c，中间这部分标注一个一，听懂了吗？这个一部分不就是a交b交c没有错。

然后依次标一下，这个是二，这个是三，这个是四，ok，那一部分是a交b交c，而二、三、四部分应该是两个几何相交，对吧？再随便标一下，比如这个是五，这个是六，这个是七，然后不再a、b、c三个集合中的元素再标成八，当然它会在全集优里边。

这个题到底怎么处理了？看清楚，正难则反的思想，今天讲的是最快的方法，最快的方法，我把两个元素也就是两个不同的数分别叫a和b，朋友们，两个不同的数a和b，我给它放入八个区域内，请问随便放有多少种放法？显然八乘八对不对？八乘八跟我刚才算的总数答案一模一样，答案是六十四。

为什么？因为第一个数a可以放到一二三四五六七八中的任意的一个，同理第二个数b可以放到一二三四五六七八中的任意的一个，所以是八乘八。满足提议的是你看清楚，a交b交c也就是图中的画一的这个部分，拿阴影部分给它标出来，这部分是吧？我刚标注了一个叫一部分，一部分就是a交b交c，元素的个数是带动一。

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我们知道正难则反，它的反面大于一的反面是m小于一，没有错，那m小于一啥意思？那不就是元素的个数为零吗？元素的个数为零等价于a交b交c等于空集。朋友们，那你想一想，你把a放入二三四五六七八剩下七个区域内，同理我把第二个数b放到二三四五六七八剩下七个部分，这样分子是七乘七，听懂了吗？

再说一遍，把a放入二三四五六七八的七个部分任意的一个，再把b放入二三四五六七八七个部分中的任意的一个，只要不要放到刚才标注的这个一，也就是阴影部分刚标注了一个一，那这个时候这一部分不就没有元素呗？而这一部分是a交b交c，a交b交c得是空集，它的元素是零行做完了，所以我这个做法是非常快的，答案是一减去八八六十四分之七七四十九，最终答案不用分类讨论，六十四分之十五，六十四减四十九是十五，是本题最后答案填空题，非常的棒。

如果你从正面考虑，你要分类讨论，相当的麻烦，学会了吗？数学上正难则反的数学思想非常非常的重要。来继续再分享一道好题，填空题的十三题，这道题虽然不太难，但是还是非常好的一道试题，来看非常好。

圆o是单位圆，所谓单位圆自然是x方加y方等于一，没有错，然后正三角形a、b、c的两个点点a、b在圆o上上求。o c的最大值为。

这道题到底怎么处理？要学习间隙平面几何解析化。什么意思？把平面几何建立直角做剖析之后转化成解析几何。什么叫解析几何？用代数的方法研究几何问题，把纯几何问题转化成代数问题是高考的关键跟核心。

第二，要会用三角换圆参数方程的思想。圆的参数方程你会吗？具体来做。这道题虽然不难，但是很有文章、很有学问，非常的棒。所以一定要去把这样一套卷杭州市二模下去认真做一下，这套卷还是非常的棒。

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虽然总体难度今年出的不是太高，但是要知道高考命题题并不是越难越好，并不是越难越好。比如像这样的题不是太难，但是考察了核心的数学思想，非常的棒。此题根本就不是考数学知识了，考的是数学思想。为什么？数学知识用的很少，就是个圆，所指之外没了，对不对？

怎么叫数学思想？看清楚，把a、b换个颜色来写，给大家写。请看，把a、b放到圆上，c放到这，a、b、c是一个等边三角形，正三角形。由于点a在圆上，请看我设一下，设点a坐标设为call z in see 塔，say in see 塔。

这个see 塔什么东西？这个see 塔是圆的参数方程的参数角，是圆上这个点和圆心连线的圆心角，这个是c 塔。继续，这样o c的长度就非常好表示了。为什么？因为点a的坐标出现之后假设这个点叫m，想想题目问的是o c的长度，o c的长度等于o m的长度加上m c的长度没有错，然后o m的长度不就点a的横坐标？刚说的是cosy 。

m c的长度怎么算？朋友们，m c的长度不就是等边三角形a、b、c的高吗？等边三角形的边长是a、b，先把边长算出来，边长a、b应该是刚设的点a的纵坐标的二倍，然后它的高，高，注意等边三角形的高给等边三角形的边长再乘以二分之根三就行了吗？二和二约掉，答案是根号三倍的say in say，这就是整边三角形的高，也就是图里边这一段m c的长度，没有错，非常的棒。

最后用辅助角公式，二倍的c c 塔加六分之π，最终请看，当c 塔加六分之π取二分之π时，原函数最大，本科最大值就是二，做完了，非常的棒。最终c 塔取到三分之一π，四叶塔最后取六十度数最大，所以还是非常漂亮的题。今天讲的非常重要，我是高考数学证明老师，我从二零零五年开始教高三，我在高三教了二十年，给他总结了适合高一、高二、高三学习的原创的二级结论。

因为是这样，高考数学想上不说太高，想上一百二十五，光学习课本上那些原始的公式概念定义，现在新高考的难度至多考个七八十，要从知识体系到题型方法体系，再到数学思维体系，从七八十到一百一十五、一百二，再到一百三、一百四，这才是正确的军训思维。

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当然如果想要原创的二结论，评论区可以真诚的回复，我爱数学，免费的送给大家。

看一下今天分享的两道题还是非常的棒，真的非常的棒，杭州市二模的填空题的压轴制作，这道题如果不用今天讲的正难则反的数学思想，做起来非常的慢，要分类讨论，而且一旦讨论的情况少了或者多了，答案就错了。

还有第二道题，如果这道题不仔细，不把它转化成三角函数，做起来似乎也是非常的慢，所以今天这堂课总结重点是正难则反的数学思想，间隙平面几何解析化，用代数的方法研究几何问题，刚那个最直咋做的？用代数中的三角函数求最直，辅助角公式，非常简单，要转化了。

三角画圆，圆的参数方程的思想，每天进步一点点，就会成功，所以跟老师一起去努力的提高高中数学成绩，高考数学成绩。