1.11.2.1正数负数及有理数的分类

正数与负数

像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．

注意：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.

（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．

（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．

题型1：正数和负数

1.下列各数为负数的是（）

A-2B.0C.3D.5

【分析】根据小于0的数是负数即可得出答案．

【解答】解：A．-2＜0，是负数，故本选项符合题意；

B．0不是正数，也不是负数，故本选项不符合题意；

C．3＞0，是正数，故本选项不符合题意；

D．5＞0，是正数，故本选项不符合题意；

故选：A．

【点评】本题主要考查了负数的定义．解题的关键是掌握负数的定义，要注意0既不是正数，也不是负数．

【变式1-1】若气温为零上10℃记作+10℃，则?7℃表示气温为（）

A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃

【答案】D

【解析】【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则-7℃表示气温为零下7℃.

故答案为：D.

【分析】正数和负数可以表示一对相反意义的量，“零上”表示为正，则“零下”表示为负，依此解答即可.

题型2：0的再认识

2.下面是关于0的一些说法，其中说法正确的个数是().

①0是最小的自然数；②0是最小的正数；③0是最小的非负数；④0既不是奇数也不是偶数.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】【解答】①0是最小的自然数,说法正确；②0是最小的正数，说法错误，0不是正数；③0是最小的非负数，说法正确；④0既不是奇数也不是偶数，说法错误，0是偶数.所以，说法正确有2个.

故答案为：C

【分析】根据自然数、正数、非负数即可判断求解.

【变式2-1】下列关于“0”的说法中，不正确的是（）

A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的整数

C．0是有理数 D．0是非负数

【答案】B

【解析】【解答】解：A、0既不是正数，也不是负数，正确；

B、没有最小的整数，故本选项错误；

C、0是有理数，正确；

D、0与正数统称为非负数，故本选项正确．

故选B．

【分析】根据0的特殊规定，对各选项分析判断后利用排除法．

【变式2-2】规定10吨记为0吨，11吨记为+1吨，则下列说法错误的是(

A．8吨记为-8吨 B．15吨记为+5吨

C．6吨记为-4吨 D．+3吨表示重量为13吨

【答案】A

【解析】【解答】解：A、10?8=2(吨)

B、15?10=5(吨)

C、10?6=4(吨)

D、13?10=3(吨)

故答案为：A．

【分析】根据相反意义的量及表达方法求解即可。

题型3：相反意义的量

3.如果向东走15米记作+15米，那么向西走20米记作（）

A．+5米 B．+20米 C．-5米 D．-20米

【答案】D

【解析】【解答】解：如果向东走15米记作+15米，那么向西走20米记作-20米；

故答案为：D．

【分析】利用相反意义的量及表示方法求解即可。

【变式3-1】据北京市金融监管局消息，将在2022年2月举办的北京冬奥会试点数字人民币．市场预期有关部门会以其作为起始点，在全国普及数字人民币．2021年12月10日，小明的妈妈在北京建行数字人民币钱包中存入100元，记作+100，那么-40表示（）

A．支出40元 B．收入40元 C．支出60元 D．收入60元

【答案】A

【解析】【解答】根据题意，得-40表示：支出40元

故答案为：A．

【分析】根据相反意义的量及表达方法求解即可。

【变式3-2】物体向右运动4m记作+4m，那么物体向左运动8m，应记作m

【分析】“向右运动4m”和“向左运动8m”是一对具有相反意义的量，据此可以得出答案．

【解答】解：物体向右运动4m记作+4m，那么物体向左运动8m，应记作-8m，

故填：-8．

【点评】本题考查的是正数和负数，关键是根据相反意义的量确定正负，由此可以得出正确答案．

题型4：相反意义的量的应用

4.一种饼干包装袋上标着：净重（150±5克），表示这种饼干标准的质量是150克，实际每袋最少不少于（）克．

A.155B.150C.145D.160

【分析】根据有理数的加减法，可得标准的范围，可得最少的质量．

【解答】解：150-5=145克，150+5=155克，

145–155克，

故选：C．

【点评】本题考查了正数和负数，有理数的加减法是解题关键．

【变式4-1】一种糖果，包装袋上写着：净重180克±6克，这表明这袋糖果的重量x的范围是（）

x≤186克B．x≥174克C．174≤x≤186克D．x=180克

【分析】先根据糖果净重180克±6克，可得糖果最重为180+6=186（克），最轻为180-6=174（克），据此可得这袋糖果的重量x的范围．

【解答】解：∵糖果净重180克±6克，

∴糖果最重为180+6=186（克），最轻为180-6=174（克），

∴糖果的重量x的范围是174≤x≤186克，

故选：C．

【点评】本题主要考查了正数与负数，解决问题的关键是正确理解120±5克的实际意义，分别计算最大值和最小值来确定范围．

【变式4-2】以45千克为七年级学生的标准体重测量7名学生的体重，把超过标准体重的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，将其体重记录如下表：

学生（号）

与标准体重之差（千克）

-5

+3

+2

-1

-2

+4

+6

（1）最接近标准体重的是学生（填序号）.

（2）最大体重与最小体重相差千克.

（3）求7名学生的平均体重.

【答案】（1）4号

（2）11

（3）解：7名学生的平均体重＝45+（﹣5+3+2﹣1﹣2+4+6）÷7＝46（千克），

∴7名学生的平均体重为46千克.

【解析】【解答】解：（1）由表格可知，4号学生的体重与标准体重之差的绝对值最小，

∴最接近标准体重的是4号学生.

故答案为：4号；

（2）由表格可知最高体重是第7名学生，最低体重是第1名学生，

∴体重之差为：6-（-5）=11（千克）

故答案为：11；

【分析】（1）由表格可知，4号学生的体重与标准体重之差的绝对值最小，据此解答；

（2）由表格可知最大体重是第7名学生，最小体重是第1名学生，再求差即可；

（3）计算出7名学生的体重与标准体重之差的和，然后除以7，再加上标准体重即为平均体重.

有理数的分类

（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：

注意：

（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.

（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．

（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．

题型5：识别有理数

5.下列数中：2，1.，53，0，﹣π，有理数的个数是（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【解析】【解答】解：2，1.，53

2，0为整数，属于有理数，

1.，为有限小数，属于有理数，

53

∴有理数有4个，

故答案为：C．

【分析】根据有理数的定义逐项判断即可。

【变式5-1】在下列数：?5

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】A

【解析】【解答】解：?5

∴分数一共有2个，

故答案为：A．

【分析】根据分数的定义逐项判断即可。

题型6：数的集合

6.请把下列各数填入相应的集合中：1，－5，212，1.

负数集合：{…}；

分数集合：{…}；

正整数集合：{…}．

【答案】负数集合：{－5，－20%，…}

分数集合：{212，

正整数集合：{1，…}

【解析】【分析】根据分数，负数，正整数的定义一一判断即可。

【变式6-1】把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）

6，－3，2.4，?34

正数：{…}非负整数：{…}

整数：{…}负分数：{…}

【答案】解：6是正整数，﹣3是负整数，2.4是正分数，?34是负分数，0是整数但既不是正数也不是负数，﹣3.14是负分数，

∴正数：{6，2.4…}

非负整数：{6，0…}

整数：{6，－3，0…}

负分数：{?34，－3.14，

【解析】【分析】利用正数包括正整数和正分数，非负整数包括正整数和0，正整数，负整数和0统称为整数，再将各个数填在相应的括号里.

题型7：有理数的分类

7.在0，3.14，13，2π，38，?8，81，﹣0.4，﹣

属于整数的有：；

属于分数的有：；

属于无理数的有：．

【答案】0，38，81，－9；3.14，13，-0.4；2π，

【解析】【解答】解：属于整数的有：0，38，81，?9；

属于分数的有：3.14，13，-0.4；

属于无理数的有：2

故答案为：0，38，81，?9；3.14，13，-0.4；2

【分析】利用立方根和算术平方根的性质，先将能开方的数进行开方运算，再利用正整数、负整数和0统称为整数；正分数和负分数统称为分数；无限不循环的小数是无理数；分别将对应的数填在相应的横线上.

【变式7-1】把下列各数：

﹣3.1，3.1415，﹣13，+31，0.618，﹣22

分数集合：；

整数集合：；

非负整数集合：；

正有理数集合：.

【答案】解：分数集合：﹣3.1，3.1415，﹣13，0.618，﹣2