线性代数期末不挂科必备公式与性质

嘿，线性代数的同学们！期末考试快到了，是不是有点紧张？别担心，我来给你们整理了一些重要的公式和性质，保证你们不再为挂科而烦恼！

行列式与矩阵的基本操作

行列式与矩阵的符号表示

对调两行或两列：符号是（＾），结果不变，例如：|A| = |A|

倍乘某行或某列：符号是（k），结果为k倍，例如：|kA| = k|A|

倍加某行或某列：符号是（E(k)），结果为E(k)倍，例如：|E(k)A| = E(k)|A|

矩阵秩的基本性质

矩阵秩的定义

矩阵秩的对偶性质：r(A’) = r(A)

若AB，则r(AB) = r(B)

可逆矩阵的秩：若P可逆，则r(PA) = r(A) = r(PA)

矩阵秩的加法性质：r(A+B) ≤ r(A) + r(B)

矩阵秩的乘法性质：r(AB) ≤ r(A)r(B)

特殊矩阵的方幂

秩为1的矩阵：可以分解为列矩阵×行矩阵的形式，利用结合律计算

型如I的矩阵：利用二项展开式计算

矩阵的相似与合同

相似矩阵与合同矩阵的定义

相似矩阵与合同矩阵的关系：相似一定合同，但合同未必相似

正交矩阵与二次型

正交矩阵的性质：若C为正交矩阵，则C’AC = B = AB

二次型与正定矩阵：A为对称阵，则A为二次型矩阵；A为正定矩阵时，A的所有特征值均为正数，且A的各阶顺序主子式均大于0

希望这些公式和性质能帮到你们，祝大家期末考试顺利通过！